REGLA DEL TRAPECIO

Corresponde al caso donde    ,  es decir  :  

  

donde    es un polinomio  de interpolación  (obviamente de grado 1) para los datos:  

Del capítulo anterior, sabemos que este polinomio de interpolación es:

  

Integrando este polinomio, tenemos que:

Por lo tanto, tenemos que: 

  

Que es la conocida Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo   , que es precisamente el área del trapecio que se forma.

Ejemplo  1: 
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral: 

  

Solución.
Usamos la fórmula directamente con los siguientes datos:  

  Por lo tanto tenemos que: 

                        

Ejemplo 2.  
Usar la regla del trapecio para aproximar la integral:  

                                        

Solución.   
Igual que en el ejemplo anterior, sustituímos los datos de manera directa en la fórmula del trapecio. En este caso, tenemos los datos:  

Por lo tanto, tenemos que: 

La regla del trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo     en     subintervalos, todos de la misma longitud     . 

Sea     la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la integral tenemos que: 

  

Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:  

  

Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud  h, tenemos que:  

  

Sustituyendo el valor de h y usando la notación sigma, tenemos finalmente: 

  

Esta es la regla del trapecio para n subintervalos. Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la aproximación a la integral. 

Ejemplo 1:   
Aplicar la regla del trapecio para aproximar la integral  

  

si subdividimos en  5  intervalos.

Solución.  
En este caso, identificamos   , y la partición generada es:  

  

Así, aplicando la fórmula tenemos que:  

  

                                      

                        = 1.48065  

Cabe mencionar que el valor verdadero de esta integral es  de  1.4626… 

Así, vemos que con 5 intervalos, la aproximación no es tan mala. Para hacer cálculos con más subintervalos, es conveniente elaborar un programa que aplique la fórmula con el número de subintervalos que uno desee. El lector debería hacer su propio programa y checar con 50, 500, 1000, 10000 y 20000 subintervalos, para observar el comportamiento de la aproximación.