El Método de Gauss-Seidel Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es llamado de esa manera en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel. El método es similar al método de Jacobi. Es un método indirecto, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
El método de iteración Gauss-Seidel es
donde
para i=j, o 
para 
.
y
Esto es también que :
Si
definimos
y
.
Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que 
, i= 1, ..., n. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
, i=1,...,n(*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
Convergencia
TEOREMA
Suponga una matriz Aε R(n,n) es una matriz no singular cumple la condición de
\sum_{1{\leq}\nu{\leq}n, \nu{\neq}\mu} |a_{\mu \nu}| \, " src="http://upload.wikimedia.org/math/6/a/f/6afe2026a96bc9abdf5924512ecdfb61.png" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-width: initial; border-color: initial; vertical-align: middle; "> ó
.
Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones Ax=b, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.
Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:
(**)
(el término 
es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de un método iterativo estacionario.
Primeramente debemos demostrar que el problema lineal que queremos resolver se puede representar en la forma (**), para este motivo debemos escribir de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=D(L+I+U),D=diag(
). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma
por lo tanto B=-(L+I)^(-1) U.
Ahora podemos ver que la relación entre los errores, el cuál se puede calcular al substraer x=Bx+c de (**)
Supongamos ahora que 
, i= 1, ..., n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios ui, i= 1,..., n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial
(***)
Por lo tanto la iteración converge si y sólo si | λi|<1, i=" 1,">
TEOREMA
Una condición suficiente y necesaria para que un método iterativo estacionario 
converge para una aproximación arbitraria x^{(0)} es que
donde ρ(B) es el radio espectral de B.
Algoritmo
Se elige una aproximación inicial para 
.
Se calculan las matrices M y el vector c con las fórmulas mencionadas. El proceso se repite hasta que xk sea lo suficientemente cercano a xk− 1, donde k representa el número de pasos en la iteración.
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