matenumerica RUIZ RUEDA LUIS: REGLA DE SIMPSON SIMPLE Y COMPUESTA

La función f(x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P(x) (rojo).

En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$ .

Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos $P 2 (x)$ , que aproxima a la función integrando $f(x)$ entre los nodos x₀ = a, x₁ = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:

$P_2(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)} .$

Así, la integral buscada se puede aproximar como:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P_2(x) \, dx =\frac{h}{3}\left[f(a) + 4f(m)+f(b)\right].$

Error

El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es

$-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),$

donde $h = (b - a) / 2$ y $\xi \in [a, b]$ .

Regla de Simpson compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta del trapecio. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales, de manera que $x i = a + i h$ , donde $h = (b - a) / n$ para $i = 0,1,..., n$ .